Bài viết này sẽ hướng dẫn các bạn các phương pháp tính bán kính mặt cầu chuẩn xác nhất thông qua các công thức cụ thể, từ đó giúp các bạn giải quyết các bài toán liên quan đến mặt cầu một cách hiệu quả.
Nội dung tóm tắt
Mặt cầu là gì?
Trong không gian, mặt cầu được định nghĩa là tập hợp tất cả các điểm có khoảng cách không đổi từ một điểm cố định, gọi là tâm của mặt cầu. Khoảng cách này, thường được ký hiệu là r, chính là bán kính của mặt cầu.
Cụ thể, nếu cho một điểm cố định O và một khoảng cách r > 0, tất cả các điểm cách O một khoảng cách r tạo thành một mặt cầu với bán kính r.
Một số tính chất đặc biệt của mặt cầu có thể kể đến như sau:
- Vô số tiếp tuyến: Nếu cho một điểm M nằm ngoài mặt cầu, thì có vô số tiếp tuyến đi qua điểm M và tiếp xúc với mặt cầu. Các tiếp tuyến này tạo thành một tập hợp các đoạn thẳng nối điểm M với các điểm tiếp xúc trên mặt cầu.
- Độ dài của các đoạn thẳng nối các tiếp điểm với điểm M đều bằng nhau. Điều này thể hiện tính đối xứng đặc trưng của mặt cầu.
- Tập hợp tiếp điểm: Các tiếp điểm của những tiếp tuyến này sẽ tạo thành một đường tròn nằm trên mặt cầu.
Cách tính bán kính mặt cầu chuẩn xác
Bán kính của mặt cầu có thể được tính thông qua các công thức khác nhau, tùy thuộc vào tình huống và đặc điểm của các hình khối mà mặt cầu ngoại tiếp.
Dưới đây là các công thức cơ bản để tính bán kính mặt cầu trong một số trường hợp cụ thể:
Công thức 1: Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
Trong trường hợp khối chóp có các cạnh bên vuông góc với đáy, bán kính của mặt cầu ngoại tiếp có thể tính theo công thức sau:
- R=√Rd2 + h2
Trong đó:
- Rd là bán kính ngoại tiếp đáy của khối chóp;
- h là độ dài cạnh bên vuông góc với đáy.
Ví dụ:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB=3a, BC=4a, SA=12a, và SA vuông góc với đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Giải:
Bước 1: Tính bán kính ngoại tiếp đáy hình chữ nhật AB=3a và BC=4a.
Bán kính ngoại tiếp của hình chữ nhật là:
Rd = √AB2 + BC2∕2 = √(3a)2 + (4a)2∕2 = √9a2 + 16a2∕2 = √25a2∕2 = 5a∕2
Bước 2: Áp dụng công thức tính bán kính mặt cầu:
R = √Rd2 + h2 = √(5a∕2)2 + (12a)2 = √25a2∕4 + 144a2 = √25a2 + 576a2∕4 = √601a2∕4 = √601a∕2
Vậy, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là √601a∕2
Công thức 2: Khối tứ diện vuông (đây là trường hợp đặc biệt của công thức 1)
Khi làm việc với khối tứ diện vuông, nơi các cạnh OA, OB, và OC đôi một vuông góc với nhau, bán kính của mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện được tính bằng công thức:
- R = √OA2 + OB2 + OC2∕2
Ví dụ:
Cho khối tứ diện vuông OABC, trong đó OA = OB = OC = a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện.
Giải:
Áp dụng công thức tính bán kính mặt cầu:
R=√a2 + a2 + a2∕2 = √3a2∕2 = √3a∕2
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện vuông là √3a∕2.
Công thức 3: Khối lăng trụ đứng có đáy là đa giác nội tiếp (đây là trường hợp đặc biệt của công thức 1)
Trong trường hợp khối lăng trụ đứng có đáy là đa giác nội tiếp, công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp sẽ được áp dụng tương tự như công thức cho khối chóp vuông góc.
Cụ thể, công thức tính bán kính mặt cầu là:
- R = √Rd2 + (h∕2)2
Trong đó:
- Rd là bán kính ngoại tiếp đáy của đa giác;
- h là chiều cao của lăng trụ đứng.
Ví dụ:
Cho mặt cầu bán kính R ngoại tiếp một hình lập phương cạnh a. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
- R = a
- R=a∕2
C. R=√2a
D. R=√3a
Giải:
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp một khối lập phương có cạnh aaa được tính theo công thức:
R=√3a∕2
Vậy đáp án đúng là D.
Công thức 4: Công thức cho khối tứ diện có các đỉnh là đỉnh của một khối lăng trụ đứng
Trong một số trường hợp đặc biệt, khối tứ diện có thể được tạo thành từ các đỉnh của một khối lăng trụ đứng. Khi đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện sẽ được tính thông qua các đỉnh của lăng trụ đứng và các yếu tố liên quan như chiều cao và bán kính ngoại tiếp đáy của lăng trụ.
Công thức cụ thể như sau:
- R = √ Rd2 + (h∕2)2
Trong đó:
- Rd là bán kính ngoại tiếp đáy của khối lăng trụ đứng;
- h là chiều cao của khối lăng trụ (cũng chính là chiều cao của khối tứ diện).
Ví dụ:
Cho một khối tứ diện có các đỉnh là các đỉnh của một khối lăng trụ đứng. Đáy của khối lăng trụ là hình vuông có cạnh a, và chiều cao của khối lăng trụ là h=2a. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện.
Giải:
Bước 1: Tính bán kính ngoại tiếp đáy của khối lăng trụ. Đáy là hình vuông có cạnh a, nên bán kính ngoại tiếp đáy được tính theo công thức:
Rd=√2a∕2
Bước 2: Áp dụng công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện:
R=√Rd2+h2=√(√2a∕2)2 + (2a)2 = √2a2∕4 + 4a2 = √2a2 + 16a2∕4 = √18a2∕4 = √18a∕2 = 3√2a∕2
Vậy bán kính của mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện là 3√2a∕2
Công thức 5: Công thức cho khối chóp có mặt bên vuông góc đáy
Để tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy, ta sử dụng công thức sau:
- R = √Rd2 + (a∕2 x cot x)2
Trong đó:
- Rd là bán kính ngoại tiếp đáy;
- a là độ dài đoạn giao tuyến của mặt bên và đáy;
- x tương ứng góc ở đỉnh của mặt bên nhìn xuống đáy.
Hoặc có thể sử dụng công thức:
- R = √Rd2 + Rb2 – a2∕4
Trong đó:
- Rb là bán kính ngoại tiếp của mặt bên;
- a tương ứng là độ dài đoạn giao tuyến của mặt bên và đáy.
Ví dụ:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tam giác SAD đều cạnh √2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Giải:
Áp dụng công thức:
R = √Rd2 + (a∕2 x cot x)2 = √[(√2a∕√2)2 + (√2a∕2 x cot 60°)2] = √[(√2a∕√2)2 + (√2a∕2√3)2 = a√42∕6
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là a√42∕6
Công thức 6: Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau
Đối với các khối chóp có các cạnh bên bằng nhau, bán kính mặt cầu ngoại tiếp được tính theo công thức:
- R=(cb2)∕2h
Trong đó:
- cb là độ dài cạnh bên;
- h là chiều cao của khối chóp, được xác định bởi: h = √cb2 – Rd2
Ví dụ: Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện đều có cạnh √3a.
Giải:
Áp dụng công thức: R=(cb2)∕2h
Ta có: cb = √3a
h = √cb2 – Rd2 = √3a2 – (√3a∕√3)2 = √2a
- R = 3a2∕2√2a = 3√2a∕4
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện là 3√2a∕4.
Trên đây là những công thức và phương pháp tính bán kính mặt cầu mà chúng tôi đã tổng hợp lại. Hy vọng rằng bài viết này sẽ giúp các bạn hiểu rõ hơn về các phương pháp tính toán trong hình học không gian, cũng như áp dụng thành thạo các công thức để giải quyết các bài toán liên quan đến mặt cầu một cách chính xác và hiệu quả.
Để không bỏ lỡ những thông tin hữu ích khác, đừng quên theo dõi chuyên mục mvk.vn nhé